（临沂第十八中学，山东 临沂 276017）
摘 要：在数学教学与解题实践中，我们会经常遇到求多元函数的最值问题，这时我们可以适当变形转化，将此类问题变成我们所熟悉的解题背景的问题来求解．下面将结合高中所涉及到的数形结合思想、函数与方程的思想以及常用方法来解决求多元函数的最大最小值或值域问题，通过一些例题来分析解决此类问题的策略,以期与各位老师、同学交流.
关键词：二元函数；最值问题；求解策略
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
一、恰当使用消元思想的策略
其中又包含：1、方程消元法；2、三角换元消元法两种类型。
例1．已知实数
满足: ,求 的取值范围.
解析：在考虑本题条件的结构特征基础上，注意所求表达式的结构特征可使用两种方法求取.
方法1:考虑由
可得 ,故可采用方程消元去处理.
,其中 ,故当 时,表达式有最大
值
,当 时,有最小值 ,即 的取值范围为 .
方法2: 由
联想到同角三角关系中的 ，可采用三角换元去处理.
其中 ,∴当 时, 有最小值 ；当 时,表达式有最大值 ,即 的取值范围为 .
点评：(1)本题方法1使用了方程消元的方法,从而将问题二元函数的问题等价转化为所熟悉的最基本的一元函数求最值问题来解决.值得注意的是转化过程中要深入挖掘隐含条件，找出变量的取值范围．一般来说，当题设中出现了二元变量的等量关系时，我们往往可以利用方程的思想用一个变量表示另外一个变量，代入函数解析式，将问题变成一元函数来解决．
(2) 在利用方程思想消元的解题过程中还有一种常用的方法是三角换元，通过引入一个角的三角函数值从而减少变量个数的方式来使化难为易，将两元
由单个参数 沟通，借助于三角函数的图像与性质来解决问题．
(3)常用的三角换元的情形有:
可换元为:
可换元为:
可换元为: 等．
二、恰当使用均值不等式的策略
利用重要不等式串:
的沟通作用.例如:
起到沟通
与 之间的不等关系.
例2．已知
, ,求 的最小值.
解析：考虑到题目中的条件，可直接利用基本不等式.
当且仅当 ，即 时 ， 有最小值 .
例3. 若
,且 ,则 的取值范围是
解析：观察可知:二元表达式中既含有
的积式 又含有 的和式 形式,而问题所求
为积式
的取值范围,故可想到应用均值不等式 达到转化沟通作用.
,故由 可得: (当且仅当 时取得等号),令 ,即有 (舍),所以 (当且仅当 时取得等号),故所求 的取值范围是 .
点评：在二元表达式中如果出现
的和式及积式共存的情形,而问题是求取和式或积式的最值可考虑使用均值不等式达到沟通转化的作用.
三、恰当使用数形结合思想的策略
利用数形结合思想,体会代数式“数”的结构有何“形”的内涵。一般从斜率、点线距、两点间距离等方向加以考虑。
例4. 已知
的最小值是
解析：若令
，则 可看成点平面内的点 与直线上的点 之间的距离,于是问题即可转化成 到直线 距离的最小值问题，由点到直线的距离公式得 的最小值为 .
例5. 若实数
满足: ,求 的最大值及最小值.
解析：借助于
的几何意义：表示圆 上的点 与坐标原点连线 的斜率，根据运动变化的观点，当直线 与圆相切时，直线 的斜率取得最值，也即 的最值．根据已知得 ,圆心 ,半径为 .
设
,即 ,由直线与圆相切，得 ，解得
的最大值为 ，最小值为 .
点评：以上例4,例5两例题根据题目条件所展现的特殊结构形式，联想所学的知识点，充分利用数形结合思想，利用表达式的几何意义去解决问题．
四、恰当使用线性规划问题的解决策略
例6. 已知变量 满足约束条件
，求函数 的最大值和最小值.
解析：由题意，作出约束条件所表示的平面区域 内部及边界部分，如图阴影所示，由 得 ，则 的几何意义表示过平面区域内点的直线 在 轴上的纵截距的最大值和最小值问题, .解得三点 , .作直线 ，平移直线 ，则当直线 过点B（-1，-1）时，目标函数 取得最小值，当 过点C（2，-1）时，目标函数 取得最大值.
所以 ,
点评：含有两个变量的线性规划问题的解决，采用的是研究目标函数的几何意义来求解，将这种方法应用到二元函数最值问题上是非常便捷的．
刃有余式值总评:以上我们通过具体实例对二元函数的值域、最值求取问题做了详细的介绍，在问题解决中要充分挖掘题目的条件，分析所给函数以及表达式的结构与形式，合理选择适当的方法来求解．同时在教学与实践中，在充足训练的基础上不断反思总结，方能在同类问题的解决中游刃有余．
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