【摘 要】 针对传统高等数学教学中，由于现代化教学手段应用不足，导致抽象概念、数值计算等的讲解费时费力，教学效果不理想等问题，本文将 Maple 软件引入到高等数学教学中，结合高等数学定积分教学，将 Maple 的符号计算功能、图形功能，动画绘图功能应用于定积分的教学中，通过演示图形的动画生成过程，给学生以直观感受，利于分析问题，达到更好的教学和学习效果，弥补传统教学的不足。
【关键词】 定积分 教学 Maple 动画.
1. 引言
高等数学课程是理工科院校一门十分重要的公共基础课程，在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域有着广泛的应用，尤其对理工科院校的人才培养质量起着举足轻重的作用，已成为处理工程技术领域专业问题的关键。
Maple 是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。
Maple 系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL 语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。近年来，随着多媒体教学的普及，国内许多学者将Maple 引入了大学物理、高等数学等课程的教学，取得了良好的效果 [1， 2， 3]。
利用 Maple 软件强大的图形绘制功能，完成了平面积分区域和空间积分区域中一些复杂图形的绘制，这有利于对数学分析理论的进一步理解 [，通过 Maple 用于常数变易法的教学实例，阐述了 Maple 应用于常微分方程教学的可行性、目的和优点 [4-8]。 设定不同的参数， 绘制曲面在椭圆点、双曲点、抛物点、平点等4种类型的点的临近结构，实现三维可视化教学，使得学生能够在“三维世界”中理解微分几何，有利于提高学生的认知能力 [9]
将 Maple 引入高等数学的教学，可以利用 Maple 软件的图形功能弥补传统教学的不足 . 结合高等数学的教学经历，从学生学习中确实存在困难的问题出发，本文将 Maple 用于定积分的应用教学，绘制二维和三维动画，增加教学可视化效果，便于教学和学习。
2.“定积分的应用”在高等数学教学中的地位
定积分是高等数学的一个重要组成部分，主要通过“分割，近似求和，取极限”的思想来解决实际问题。
在熟练掌握定积分的计算后，将定积分应用到求解平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等数学问题，也可用于求解变力沿直线所做的功、水压力、引力等物理问题，以及求产量、利润、成本等经济问题中。解决实际问题是高等数学学习的一个重点，也是各理工科、经济类专业学好专业课的基础。不仅如此，定积分的应用也为后续学习二重积分和三重积分的应用打下基础。
3. 应用 Maple 的2D 和3D 动画绘图功能辅助定积分教学在传统定积分的教学中，教师主要采用的是讲授式教学，教学中需要的图形即使画出也存在三个问题 ： 1）纯手工画图或多或少浪费课堂教学时间； 2）图形缺乏立体感和灵动性； 3）学生很难理解图形的生成过程，在将实际问题转化成定积分表达式时存在困难。
针对以上几个问题，文中选取同济大学第六版《高等数学上》中定积分的应用的几个习题，利用 Maple 分别绘制2D和3D 动画图形，通过图形动画便于学生更好理解所学内容。
问题1 ：求阿基米德螺线 ρ =2θ 上相应于 θ 从0到4π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。
利用 Maple 语句
with（plots）：
display（animatecurve（[2*θ，θ，θ =0..4*Pi]， coords= polar， numpoints = 72， frames = 9， thickness = 1， scaling =constrained））；
该曲线的动画分为以下9帧来显示，如图1所示。
图 1 阿基米德螺线动画演示图
问题2 ：求 ρ =3cosθ 及 ρ =1+cosθ 所围成图形的公共部分的面积。
Maple 语句 ：
with（plots）：
plot（[3*cos（x）， 1+cos（x） ]， x = 0 .. 2*Pi， coords =polar， frames = 16， thickness = 3）；
图 2 两图形所围成的公共部分面积
以上两个问题的动画演示可以在几秒钟完成，教师可以在课前准备，提前输入语句课堂演示给学生。这样学生能更直观的理解图形的生成过程，如图2所示，同时教师可以把画图节约下来的课堂时间用于分析问题或学生做课堂练习。
问题3 ：求由 y=x3， x=2， y=0所围成的图形绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积。
输入 Maple 语句如下 ：
with（plots）： with（plottools）： a ： = 0 ： b ： = 2 ： f ： =x → x^3 ： quxian ： = spacecurve（[0， x， f（x） ]， x = a .. b， color =red， thickness = 3）：
qubiansanjiaoxing ： = plot3d （[0， x， h]， h = 0 .. f （x）， x = a ..
b， style = patchnogrid， color = green）：
qubiantixing1 ： = plot3d（[0， x， h]， h = 0 .. f （x）， x = a .. b，style = patchnogrid， color = grey）：
K ： = 20 ： for i from 1 to K do ti ： = 2*i*Pi/K ：
A[i] ： = rotate（quxian， ti， [[0， 0， 0]， [0， 0， 1]]）：
B[i] ： = rotate （qubiansanjiaoxing， ti， [[0， 0， 0]， [0， 0， 1]]）od ：
AA ： = display（ seq（ A[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
BB ： = display（ seq（ B[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
display（ AA， BB， quxian， qubiansanjiaoxing1， axes =normal， scaling = constrained， view = [-1 .. 1， -3 .. 3.4， -8 .. 8]，tickmarks = [2， 2， 2]）；
此问题的图形动画分为20帧显示，文中只选取了主要的几帧，如图3所示。
图 3 旋转体体积演示
图 4 曲线旋转所得体积动画演示
问题4 ：求曲线 x2+（y-5） 2=16绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积。
Maple 语句如下 ：
with（plots）： with（plottools）： a ： = -4 ： b ： = 4 ； f ：
=5+sqrt（16-x*x）：
quxian ： = spacecurve（[0， x， f（x） ]， x = a .. b， color =red， thickness = 3） ： qubiantixing ： = plot3d（[0， x， h]， h = 0 ..
f（x）， x = a .. b， style = patchnogrid， color = green）：
qubiantixing1 ： = plot3d（[0， x， h]， h = 0 .. f （x）， x = a .. b，style = patchnogrid， color = grey）：
K ： = 20 ： for i from 1 to K do ti ： = 2*i*Pi/K ：
A[i] ： = rotate（quxian， ti， [[0， 0， 0]， [0， 1， 0]]）：
B[i] ： = rotate（qubiantixing， ti， [[0， 0， 0]， [0， 1， 0]]）：
qumian[i] ： = plot3d（[f（u） *sin（t）， u， f（u） *cos（t） ]，u = a .. b， t = 0 .. ti）：
disk1[i] ： = plot3d（[r*sin（t）， a， r*cos（t） ]， r = 0 .. f（a），t = 0 .. ti， style = patchnogrid， color = grey）：
disk2[i] ： = plot3d（[r*sin（t）， b， r*cos（t） ]， r = 0 .. f（b），t = 0 .. ti， style = patchnogrid， color = grey） od ：
AA ： = display（ seq（ A[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
BB ： = display（ seq（ B[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
CC ： = display（seq（qumian[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
DD1 ： = display（seq（disk1[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
DD2 ： = display（seq（disk2[i]， i = 1 .. K）， insequence =true）：
d i s p l a y（ A A， B B， C C， D D 1， D D 2， q u x i a n，qubiantixing1， axes = normal， scaling = constrained， tickmarks= [2， 2， 2]， view = [-5 .. 5， -10 .. 10， -20 .. 20]）；此问题的图形动画分为20帧显示，文中只选取了主要的几帧，如图4所示。在问题3和问题4的教学中，教师很难画出曲线旋转的3D 动画，因此学生从动画演示中能更好的理解旋转的过程，也能够准确将其利用定积分表示出来，从而利用牛顿 - 莱布尼兹公式解决问题，达到较好的教学和学习效果。
4. 总结
综上所述，基于 Maple 软件平台，结合高等数学课程的教学内容， 将 Maple 引入高等数学教学， 并扩展到备课、 授课、和课后作业演练等环节，在提高教学质量、增强教学效果和引导和培养学生利用数学工具的习惯和能力，强化算法设计和程序的通用性和灵活性，为处理复杂问题提供帮助等方面具有很高的研究价值和现实意义。
参考文献
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[6]周甄川，吕同斌.maple的图形绘制功能在高等数学教学中的应用[J].黄山学院学报，2010，12（3）：117-119[7]焦福银，赵立纯，李秀颖，黄琳琳，赫培霞.MAPLE软件在数学分析学习中的应用[J].鞍山师范学院学报2010，12（6）：19-21
[8]朱春蓉，郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版，2009，18（3），63-64[9]岳崇山，景海斌，张贺.Maple在非线性方程求解中的应用[J].石家庄学院学报，2007，9（6）：5-8
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