一、反证法教学的障碍
“反证法”是数学中的一种重要的证明方法，不少的数学问题的证明都要用反证法，但是不少学生对学习反证法感到吃力。这里的原因除了与在证明过程中的其他因素有关外。还有一些阻力是来自学生心理上的障碍。其实心理障碍即使在使用直接证明方法时，也或多或少干扰着学生推理的顺利进行。比如，看到两个三角形相象时，思考过程中就老是受视觉上的支配而不自觉地用这两个三角形全等作为条件来进行推理。这种来自心理上的障碍虽然老师们都能明显的感觉到，但通常易把它与来自其他因素的推理障碍相混。没有在客观上把清除心理障碍当作突破反证法的教学难点来考虑。
二、克服反证法教学心理障碍
学生的心理结构的发展过程包括图式—同化—顺应—平衡等四个过程。当一个新知识出现时，学生首先是用旧的认识结构对其进行解释与吸收，将新知识纳入原有的认识结构之中。当原有的认识结构不能解释，不能容纳新知识时，则内部系统及对原有认识结构进行重新改组，扩大。使之足以包摄新知识，达到新的平衡。学生在以往学习的只是直接证明方法，推理中的每一步在感知上和逻辑上都不会与原有的知识系统和认识图形相互矛盾。他们在具体证明某一题目时，只须将题目具体内容“同化”到他们原有的认识结构或演绎体系中去。这种感知上与逻辑上的一致性已经形成了他们进行演绎推理的心理基础，成为他们达到心理平衡的依据。运用直接证明方法时，也有心理障碍存在，但那是由于在错觉影响下，或在下意识作用下的原因所造成的。而学习反证法时，推理过程中出现的是感知与逻辑上矛盾的情形，与错觉或下意识是不同的。要使学生真正掌握反证法。不将学生原有的演绎体系提高到更高的层次，也就是进行“顺应”的过程，是不可能的。反证法的教学，不应拘泥于教材，宜采取分散难点，逐步渗透，不断深化的方法。有步骤、有计划地落实到教学之中，着重培养学生进行形式演绎的能力。
结果，指导学生练习时，一定要突出两点：一是要将结论的反面当成新的已知条件后，才能由此推出矛盾的结果，否则就不能导致矛盾。二是推理要合乎逻辑，否则即使推出了矛盾后，也不能断言假设不成立。也就是说在“归谬”的过程中其推理应是无懈可击的，其矛盾的产生并非别的原因，只因反设不成立所致。同时，导致矛盾又有如下几种情况：一是与已知条件矛盾。
二是与已学定义、公理、定理相矛盾。三是与题设相矛盾。
3、“结论”的练习：“反证法”中的结论是指最后得出所证命题的结论。教学时，一定要严格要求“结论”准确。否则，将前功尽弃。
（四）比较辨析，恰当运用“反证法”
“反证法”在几何、代数、三角等方面都能应用。教学时，为了扩展学生的视野，激发学生积极性，可适当补充这方面的练习题。另一方面，学生学了“反证法”之后，企图什么证明题都想用“反证法”来证，结果使一些简单问题复杂化了，以致弄巧成拙。教学时还应强调，什么时候用“直接证明法”，什么时候用“反证法”，应依所证命题的具体情况恰当使用。
原则上是“以简
（一）浅显事例引入“反证法”的基本思想
学生刚接触“反证法”时，对于此法中根据排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教学时，可通过学生已有实践体会的浅显的生活方面的事例让学生逐步领会。开始将“反证法”用于解题时候，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引入。
（二）精讲例题，找出“反证法”的基本规律
有前面的基础，就要注意讲好每一个具有代表性的例题。特别是重要讲好建立新概念或引出新方法时的第一个例题。教学时，宜于运用具体的几何实例。逐步说明证明的过程，并启发学生沿着思维规律进行思考，得出“反证法”的一般步骤和规律：
1、反设：将结论的的反面作为假设。
2、归谬：将“反设”作条件，由此推出和题设或者和公理、定义、已证的定理相矛盾的结果。
3、结论：说明“反设”不成立，从而肯定结论不得不成立。
（三）加强练习，培养用“反证法”证题的基本能力
在学生初步领会“反证法”的基本思想，掌握“反证法”的基本方法以后，还应靠足够的练习来逐步培养学生运用“反证法”证题的能力。练习要有针对性，要重点突出，根据“反证法”的特点，练习的着重点应放在“反设”、“归谬”、“结论”三个方面。
1、“反设”的练习：“反设”即为“否定结论”，它是反证法的第一步，它的正确与否，直接影响着“反证法”的后续部分，学生初学时，往往去否定假设，教学时，应注意纠正。要突出“反设”的含义就是“将结论的反面作为假设”。在思考途径上可指导学生按以下几步进行：第一要弄清所证命题的题设和结论各是什么。第二找出结论的全面相反情况，注意不要漏掉又不要重复。第三否定时用“不”或“不是”加在结论的前面，再把句子化简。
2、“归谬”的练习：“归谬”即“假定结论的反面成立，而导致矛盾。”就是说将结论的反面作为条件后，经过逻辑推理，导出矛盾的结果，这不但是反证法的主要部分，而且也是核心部分。学生初学时，为宜”。一般来说，用“直接证法”的时候居多，但遇下列情况可考虑用“反证法”。
1、当直接证明某个命题有困难或不可能时，可考虑使用“反证法”。
2、否定性问题：在此类问题中，结论的反面即可能就更为具体，常常可以由此去推出矛盾，从而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性问题：此类问题中，结论的反面是不唯一的，那么，至少可有两个不同者，由此去推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一。
4、肯定性问题：此类问题中，有个带肯定性的结论，其反面就是对前者的否定，由此去推出矛盾，从而使问题获证。
5、某些“无限”问题：在些类问题中，结论的反面是“有限”，它比无限更具体，由它推出矛盾，从而否定有限，而肯定无限。
克服反证法的心理障碍只是帮助学生掌握反证法的关键。并不是说这样做了就保证学生运用反证法证题都能成功。对具体问题的证明，不但涉及到方法的本身，还涉及到个人的知识基础和思维水平等因素，由此判定出一系列教学措施，确能帮助学生更好地掌握反证法，不断提高解决问题的能力，提高教学素养和认识水平。 |
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